Épreuves écrites du CAPES – Notions abordées

 

 

Année

Première épreuve

Deuxième épreuve

 

2016

Polynôme d'interpolation de Lagrange, racines. Application linéaire, base, surjection, bijection. Théorème de Rolle. Majoration de l'erreur d'interpolation. Fonction affine par morceaux, continuité. Déterminant de Vandermonde, matrice d'une application linéaire, matrice inversible. Paraboles passant par trois points donnés, résolution de systèmes, interprétation géométrique.

Déterminant et matrice inversible. Récurrence. Trinôme du second degré. Raisonnement par l'absurde. Formule de Taylor avec reste intégral, récurrence. Inégalité de Taylor-Lagrange. Equation différentielle d'ordre 2. Approximation de la solution (méthodes des différences finies).

 

Equation différentielle linéaire d'ordre 1. Méthode d'Euler (subdivisions, équations de droites, tableur, algorithme). Résolution exacte. Convergence de la méthode. Suite arithmético-géométrique.

Expériences aléatoires (tirages dans une urne). Arbre pondéré. Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance et interprétation. Algorithme de simulation. Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées. Récurrence, changement d'indice dans une somme. Formule des probabilités totales. Théorème du transfert. Variance. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

 

2015

Module et argument d'un nombre complexe. Inégalité triangulaire. Nombres complexes et géométrie, angles orientés de vecteurs, rotations.

Suites réelles monotones. Divergence de la série harmonique, équivalent de la somme partielle. Convergence au sens de Cesàro et application à la recherche d'équivalents de suites. Liens avec la convergence classique ; cas des suites croissantes.

 

Chiffrement monographique, codage. Théorèmes de Bezout et Gauss, congruences. Chiffrement de Hill. Matrices carrées à coefficients entiers.

Coefficients binomiaux vus comme nombres de chemins, propriétés. Formule du binôme, loi binomiale. Marche aléatoire dans Z. Variable aléatoire. Algorithmes.

 

2014

Applications bijectives du plan transformant une droite en une droite. Exemples, applications affines de R2, traduction matricielle. Endomorphisme d'anneaux de R. Cas des applications fixant trois points  particuliers, cas général.

Equations différentielles linéaires d'ordre 2, espace vectoriel des solutions, isomorphisme. Wronskien, base de solutions. Nombre de zéros des solutions de l'équation homogène. Fonctions convexes.

 

Méthode du point fixe pour approcher un zéro, convergence géométrique, convergence d'ordre 2. Conditions nécessaires, suffisantes. Méthode de Newton, suites de Héron. Fonctions contractantes.

Intégrales de Wallis, intégration par parties. Intégrale de Gauss, changements de variables. Loi de Laplace-Gauss, densité de probabilité, espérance, variance. Loi normale centrée-réduite.

 

2014ex

Continuité par epsilon/eta, convergence des sommes de Riemann, majoration de la différence avec l'intégrale. Applications au calcul approché d'une intégrale et à l'étude de suites.  Suite d'intégrales, encadrement, théorème des gendarmes. Loi binomiale, espérance. Probabilités totales, suite de variables aléatoires.

Fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle, suites adjacentes, inégalité de Bernoulli (récurrence), dérivabilité. Evolution d'une population.

 

Matrices diagonalisables, trigonalisables. Matrices d'ordre fini, racines de l'unité, ppcm. Valeurs propres, spectre, polynôme caractéristique, trace, rang, récurrence. Matrices semblables.

Ecriture des nombres décimaux, développement décimal propre/impropre, unicité. Algorithme. Division euclidienne, congruences, théorèmes de Bezout et Gauss, ppcm. Ensemble Z/nZ, injection, inversibles.

 

 

2013

Exemples de nombres irrationnels. Nombre premiers entre eux, divisibilité. Suites adjacentes, raisonnement par l'absurde. Convergence d'une suite d'intégrales définies. Formule du binôme. Intégration par parties. Développement en série de Engel. Récurrences, théorème des gendarmes.

Séries statistiques, moindres carrés, moyenne, médiane. Théorie de l'information, entropie, système complet d'événements. Convexité, inégalité de Jensen. Densité de probabilité. Calculs d'intégrales généralisées (intégration par parties). Nullité de l'intégrale d'une fonction continue positive.

 

Puissances de matrices. Convergence d'une suite de matrices. Polynôme caractéristique, valeurs propres. Noyau, image, sous-espaces supplémentaires. Endomorphisme induit, changement de base.

Arithmétique. Lemme de Gauss, nombres premiers. Récurrence, binôme de Newton. Théorème de Lagrange. Congruences, théorème de Wilson. Relation coefficients-racines d'un polynôme. Algorithme. Théorème de Wolstenholme.

 

 

2012

Fonctions lipschitziennes, fonctions uniformément continues. Majoration d'une fonction uniformément continue par une fonction affine. Théorème de Heine.

Série harmonique, encadrements, équivalent. Suites convergentes, suite croissante majorée. Marche aléatoire sur Z, probabilités, variable aléatoire, espérance. Marche aléatoire sur Z2.

Equation de Pell-Fermat. Récurrence, algorithme. Formule du binôme, suites récurrentes.

 

Divisibilité, pgcd, inversibles et non inversibles de Z/nZ. Décomposition en facteurs premiers. Sous-groupe. Algorithmes.

Isométries de Rn laissant globalement invariante une partie. Isométries du plan fixant un point, un couple de points, une ellipse. Automorphismes orthogonaux. Isométries de l'espace, expression analytique dans un repère (matrice). Isométries conservant un cylindre à base elliptique. Vecteurs propres. Forme canonique d'une isométrie de l'espace. Hélice.

 

2011

Droites remarquables d'un triangle.

Théorème des valeurs intermédiaires, raisonnement par l'absurde, théorème des suites adjacentes, démonstration par dichotomie. Suites et applications continues. Théorème du point fixe, première formule de la moyenne. Contre-exemples. Réciproque du théorème des valeurs intermédiaires, théorème de Darboux.

Polynômes de Laguerre, fonctions polynomiales, degré, dérivation. Formule de Leibniz, développements limités, coefficients binomiaux. Intégrale généralisée, produit scalaire, famille orthonormée.

 

Cercle circonscrit à un triangle et ellipse. Aire d'un triangle. Résolution d'équations trigonométriques. Maximum d'une fonction de deux variables. Matrices, matrices symétriques positives, matrices symétriques définies positives, valeurs propres. Diagonalisation des matrices symétriques réelles. Déterminant, calcul par blocs, récurrence. Norme, ouvert.

Produit scalaire, base orthonormale. Convexité, intersection de convexes, application continue sur un convexe compact. Volume d'un ellipsoïde, étude de fonction. Norme euclidienne et norme d'un endomorphisme. Compacité, boules, intérieur, fermé.

 

 

2010

 

Constante d'Euler, encadrements d'intégrales, suites convergentes, développement asymptotique, valeur approchée de la constante. Intégrales généralisées convergentes et calculs d'intégrales. Etude d'une série de fonctions. Constante d'Euler et série de Vacca, séries numériques, critère spécial aux séries alternées, convergence absolue. Formule de Gosper, espaces vectoriels de suites, endomorphisme. Coefficients binomiaux.

 

Série génératrice d'une suite, séries formelles, structure d'anneau intègre, éléments inversibles. Inverse d'une série formelle, dérivation, exemples. Coefficients binomiaux. Décomposition en éléments simples. Suites récurrentes, suites de Fibonacci, espace de suites récurrentes linéaires, isomorphisme. Polynômes à coefficients complexes, racines, multiplicité.

Dénombrement des partitions d'un ensemble en k classes, des surjections, des dérangements, des chemins de Dick (nombres de Catalan).

 

 

2009

Intégrales de Wallis, intégration par parties, changement de variable, récurrence. Formule de Stirling, suites et séries, développements limités, équivalents. Volume d'une boule et intégrales multiples. Suites monotones. Polynômes et nombres de Bernoulli, coefficients binomiaux. Séries entières, rayon de convergence, produit de Cauchy. Développements en séries entières. Comparaison série/intégrale généralisée. Fonction Zéta de Riemann, série normalement convergente. Coefficients de Fourier exponentiels, approximation de pi. Séries alternées.

 

Majoration des modules des racines d'un polynôme, résolution d'une équation complexe. Matrice compagnon, valeurs propres, polynôme caractéristique. Etude de fonction. Borne de Cauchy d'un polynôme, coefficients binomiaux. Théorème de Luca, parties convexes, enveloppe convexe, barycentres. Affixes des sommets d'un triangle équilatéral. Théorème de Poncelet, définition bifocale d'une ellipse, tangentes à une ellipse et bissectrices, angles de droites, composées de réflexions.

 

 

2008

Fonctions à variations bornées, fonctions monotones. Limites à droite et à gauche. Subdivisions d'un intervalle, borne supérieure. Fonction partie entière, fonctions périodiques. Suites et séries numériques. Intégrales généralisées convergentes, absolument convergentes, divergentes. Intégrale et inégalités.

Fonctions à valeurs dans Rn, fonctions composantes. Automorphismes orthogonaux de Rn.

 

Suite des nombres premiers compris entre 0 et n. Valuation p-adique d'un entier ; décomposition en facteurs premiers.  Lemme de Gauss. Coefficients binomiaux, binôme de Newton. Partition d'un ensemble, cardinal. Récurrence. Partie entière.

Linéarité de l'intégrale, séries convergentes, majoration de la somme ; comparaison série/intégrale. Transformation d'Abel. Développement en série entière de l'exponentielle.

Densité de l'ensemble des entiers ayant de grands facteurs premiers.

 

 

2007

Suites monotones, bornées, adjacentes ; polynômes trionométriques, calculs de sommes. Intégrales de Wallis, intégration par parties, récurrence, encadrement. Noyau de Dirichlet ; prolongement par continuité, théorème de Lebesgue. Convergence de séries positives ; sommes doubles. Fonction dilogarithme ; intégrale fonction de sa borne supérieure, développement en série entière.

 

Systèmes de racines ; symétrie orthogonale ; angle géométrique de vecteurs du plan. Relations d'ordre total ; compatibilité avec la structure d'espace vectoriel. Bases d'un système de racines ; base associée à l'ordre. Groupe de Weyl. Groupe diédral ; sous-groupes ; générateurs. Chambres de Weyl ; ouverts et connexes ;  groupe opérant sur un ensemble ; action simplement transitive.

 

 

2006

Théorème de sommation des équivalents (cas de divergence) ; équivalents de sommes partielles ; lien suites-séries. Espérance mathématique. Série entière, convergence normale. Modélisation d'un expérience aléatoire, événements, espérance et variance. Temps d'arrêt. Suites récurrentes linéaires. Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire. Racine commune de deux polynômes. Modules des racines, pôles, décomposition en éléments simples.

 

Quadrique en dimension 3, changement de repère, intersection avec un plan : conique Projection orthogonale de cercles. Définition bifocale d'une conique. Equation diophantienne, carré parfait. Entiers premiers entre eux, pgcd. Réduction d'une hyperbole. Groupe affine conservant une conique, sous-groupe, isomorphisme, sous-groupe engendré. Transformations affines fixant un point, expression matricielle. Bijection de R dans R ; partition.

 

 

2005

Entiers, polynômes de Z[X]. Sous-groupes discrets de R. Borne inférieure, densité. Irrationnalité. Suites convergentes. Fonctions polynomiales. Développements limités.  Equation différentielle linéaire d'ordre 2, dérivée logarithmique, équation de Bessel. Série entière solution d'une équation différentielle, fonctions de Bessel. Intégrale dépendant d'un paramètre.

 

Courbes planes paramétrées, équations cartésienne et polaire. Théorème de Thalès. Hyperbole, parabole, propriétés géométriques, axes de symétrie. Puissance d'un point par rapport à un cercle. Transformée de Descartes d'une courbe. Fonctions polynômes en deux variables.

 

 

2004

Construction de l'exponentielle. Inégalités de Bernoulli et de Cauchy, récurrence. Moyennes arithmétique et géométrique. Dérivées logarithmiques. Fonctions convexes. Suites monotones et convergentes. Suites de fonctions, convergence uniforme. Suites de complexes. Equations différentielles. Intégrale.

 

Image d'une partition par une bijection. Rotations vectorielles en dimension 3, demi-tours. Condition pour que deux rotations commutent, sous-groupe engendré par deux rotations. Expression matricielle, matrices congruentes. Ensemble dénombrable. Morphisme de groupe, relation d'équivalence. Ensembles paradoxaux.

 

 

2003

Opérateurs linéaires positifs. Polynômes de Bernstein, polynomes trigonométriques, convolution. Séries de Fourier. Convergence uniforme. Théorème de Weierstrass. Théorèmes de Korovkin. Continuité uniforme.

 

Evénements indépendants et mutuellement indépendants, calcul de probabilités. Décomposition en facteurs premiers, division euclidienne, pgcd, fonction indicatrice d'Euler. Z/nZ[X]. Ordre d'un élément dans un groupe, générateurs de (Z/nZ)* . Nombres pseudo-premiers forts, congruences, algorithme. Nombres de Carmichael, test de Miller-Rabin.

 

 

2002

Equation fonctionnelle. Espace vectoriel. Equation différentielle linéaire. Théorème des accroissements finis, dérivées successives, Taylor-Young, DSE. Boule unité fermée de Rn. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Série de fonctions. Dérivabilité d’un prolongement.

 

Polynômes de Lagrange. Anneau commutatif, sous-anneau. Système linéaire. Décomposition en produit d’irréductibles. Arithmétique, division euclidienne, congruence, valuation p-adique. Espace vectoriel, bases.

 

 

2001

Equation fonctionnelle, continuité, caractérisation des fonctions exponentielles. Intégrale double, continuité d’une fonction de deux variables. Convolution de fonctions continues, l.c.i. Intégrale généralisée. V.a. de loi exponentielle (sans mémoire), fonction de répartition. Probabilité conditionnelle, loi de Poisson, comportement asymptotique. Suites et sous-suites. Densité.

 

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2, suite de Fibonacci. Calcul matriciel, déterminant, récurrence. Arithmétique, équations diophantiennes (Pell-Fermat), diviseurs, pgcd. Algorithme. Représentation de Fibonacci d’un entier.

 

 

2000

Polynômes de Legendre et de Laguerre. Produit scalaire, orthogonalité, orthonormalisation. Suites de fonctions, convergence au sens de normes. Théorème de Stone-Weierstrass. Interpolations de Lagrange et Hermite. Quadrature de Gauss. Valeurs intermédiaires. Intégrale généralisée dépendant d’un paramètre.

 

Groupes de permutations. Déterminant, aire, volume. Produit vectoriel et mixte. Approximation d’un zéro, Taylor-Lagrange. Forme quadratique. Géométrie dans l’espace, tétraèdre, perpendiculaire commune. Isométries conservant un tétraèdre, expression matricielle de réflexions et de rotations. Valeurs propres, polynôme caractéristique. Coordonnées sphériques. Lignes de niveau. Expérience aléatoire.        

 

 

1999

Polynômes, fonctions symétriques élémentaires, racines réelles, multiplicité. Polynôme de Newton.

 

Matrices magiques, espaces vectoriels, groupe opérant sur un ensemble, groupes isomorphes, groupes de permutations. Congruence, Z/nZ.

 

 

1998

Suites récurrentes. Points fixes attractifs, fonctions contractantes. Formule de Taylor. Vitesse de convergence. Suites de Héron.

 

Adjoint d’un endomorphisme, endomorphisme symétrique. Coordonnées barycentriques. Points isogonaux relativement à un triangle. Angles. Affixes. Décomposition en éléments simples. Déterminant. Droites concourantes, produit scalaire. Réflexions, compositions. Ellipse.

 

 

1997

Séries de fonctions, convergence normale. Développement asymptotique. Constante d’Euler. Calcul approché, méthode des trapèzes. Notations de Landau. Séries numériques convergentes. Développement limité. Trigonométrie hyperbolique. Développement en série de Fourier.

 

Angles, bissectrices. Triangle inscrit dans une hyperbole équilatère. Affixe, racines de l’unité. Relations coefficients-racines d’un polynôme, élimination. Système linéaire. Lieu géométrique. Isobarycentre. Centre de courbure. Tangente (définition géométrique).

 

 

1996

Problème de Dirichlet. Equations différentielles, majoration des solutions, variation des constantes, changements de variable et de fonction. Fonctions hyperboliques. Solutions DES, convergence uniforme. Cauchy-Lipschitz. Fonction réciproque.      

 

Distance, frontière, intérieur. Coordonnées barycentriques. Mesures d’angles. Lieux géométriques. Coniques, foyer, directrice, excentricité.

 

 

1995

Moyenne arithmético-géométrique. Dérivabilité. Intégrales généralisées. Changement de variable. Intégrales dépendant d’un paramètre, convergence uniforme, théorème de dérivation. Suites convergeant vers  (Salamin). Vitesse de convergence.

 

Matrices symétriques réelles, formes quadratiques, valeurs propres, coniques. Compacité. Décomposition de Choleski  

S = tT T (T triangulaire inversible). Déterminant. Algorithme de décomposition.

 

1994

Affixes, Z[i]. Relations dans le triangle. Borne inférieure. Suites de complexes, suites extraites. Relation d’équivalence, quotient. Théorème des gendarmes, équivalent. Rayon minimum des disques du plan contenant k points à coordonnées entières. Rationnalité. Majoration, minoration.

 

Relations coefficients-racines. Complexes et angles. Transformations du plan. Angles orientés de couples de droite. Points cocycliques, interprétation complexe. Puissance d’un point par rapport à une conique, excentricité, foyer, ellipse, parabole, hyperbole. Mesure algébrique. Ligne de niveau. Nombres complexes de module 1.

 

 

1993

Intégrale généralisée, majorations, intégration par parties, changement de variable. Décomposition en éléments simples. Intégrale dépendant d’un paramètre. Série de fonctions, dérivation, convergence normale. Equation différentielle. Suite d’endomorphismes.

 

Gerbes de droites concourantes. Isométries de l’espace, produit scalaire, angles orientés, cosinus. Etude de fonction. Affixe, cosinus. Théorème de la base incomplète. Matrice symétriques réelles, automorphismes orthogonaux. Groupes des complexes de module 1 et des rotations d’axe donné.

 

 

1992

Etudes de fonctions et de signes. Irrationnalité. Zéros d’une fonction, calcul approché, suites récurrentes. Ensembles dénombrables, borne supérieure. Suites extraites (Bolzano-Weierstrass). Cotangente. Comparaison série-intégrale.

Racines rationnelles d’un polynôme. Polygone régulier, isobarycentre, rotations. Lignes de niveau, hyperboles. Ensembles à distances entières (réseau). Changement de ROND, droites orthogonales. Résolution d’équations dans Z[i], systèmes de congruences. Relation d’équivalence.  

 

 

1991

Taylor-Lagrange, dérivabilité. Majorations. Equation différentielle. Intégrale généralisée, convergence, intégration par parties,  Cauchy-Schwarz. Taylor avec reste intégral. DES. Suites de fonctions. Intégrale fonction de sa borne supérieure.

 

Etude d’une suite récurrente. Produit scalaire, orientation du plan. Rotations vectorielles, composées de réflexions, angle. Ordre. Sous groupe du groupe des isométries vectorielles. Groupe linéaire, sous-groupe engendré. Diagonalisation. Forme bilinéaire symétrique. b.o.n.

 

 

1990

Espace préhilbertien, forme et matrice hermitiennes. Algorithme. Calcul de déterminant. Endomorphisme auto-adjoint, spectre. Espace complet. Endomorphisme continu. Convergence normale d’une série, série numérique. Cauchy-Schwarz.

 

Affixe, transformations complexes. Décomposition en éléments simples. Isobarycentre. Ellipse, foyer. Polygône régulier. Similitude directe. Endomorphisme symétrique, diagonalisation. Surface. Projection orthogonale d’un cercle. Ellipse de Steiner d’un triangle.

 

 

1989

Opérateur et polynôme de Legendre. Diagonalisation. Dérivées successives. Produit scalaire, orthogonalité. Distance à un sous espace. Intégration par parties, Cauchy-Schwarz. Equation différentielle développement en série de polynômes. Séries de fonction, convergence en moyenne quadratique.          

 

Dérivées successives. Décomposition en éléments simples. Développement en séries entières. Division suivant les puissances croissantes. Matrices nilpotentes, base. Résolution matricielle d’une équation fonctionnelle. Marche aléatoire, loi d’un couple, probabilité conditionnelle.

 

 

1988

Séries convergentes. Approximation de la constante d’Euler. Intégrale fonction de sa borne supérieure, intégrale généralisée. Convergence uniforme d’une suite de fonctions, intégrale généralisée dépendant d’un paramètre. Séries téléscopiques. Accélération de la convergence. Développement en série entières, rayon de convergence.

 

Isobarycentre. Affixe, similitudes. Polygône régulier. Endomorphisme diagonalisable. Homothétie. Composée de symétries centrales. Divisibilité de polynômes, Bezout. Produit hermitien, base orthonormée. Expression complexe d’application affines.

 

 

1987

Sous-algèbre. Formule de Leibniz. Convergence absolue d’une intégrale, intégrale généralisée fonction de sa borne inférieure.  Pôles d’une fraction rationnelle, complexes. Développements en série de Fourier, coefficients de Fourier. Endomorphisme, noyau, valeurs propres. Séries de fonctions, convergence absolue et normale. Encadrement du reste d’une série alternée, accélération de la convergence. Algorithme.

 

Complexes, affixes. Polygone régulier convexe, rotations. Calcul des coefficients d'un polynôme en fonction de ses valeurs sur les racines de l'unité. Sous groupes de R de la forme aZ. Borne supérieure d'une fonction continue. Majorations, minorations. Maximum de la somme de n nombres complexes.

 

 

1986

Convolution des fonctions continues périodiques, coefficients de Fourier. Projecteur orthogonal, bon. Convergence normale, développements en série de Fourier. Norme d’un endomorphisme continu. Prolongement par continuité, borne supérieure. Approximation uniforme des fonctions continues et des fonctions lipschitziennes par les méthodes de Fejer et Jackson. Intégrale généralisée. Majorations optimales. Dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre.

 

Distance à une partie, points d’attraction. Lignes de niveau, fonctions lipschitziennes. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Topologie, borne inférieure, fermé, ouvert, intérieur, compacité. Parties convexes. Isométries affines du plan. Fonctions continues. Fonctions injectives. Homéomorphismes.

 

 

1985

Equation différentielle linéaire du premier ordre. Opérateur linéaire. Comportement asymptotique. Exponentielle complexe, fonctions puissances. Fonction négligeable devant une autre. Norme infinie. Inégalité optimale. Intégrale absolument convergente. Convergence uniforme d’une suite de fonctions.

 

Transformations affines et vectorielles, image d’un parallélogramme. Similitudes directes et indirectes. Affinités orthogonales, composées, points fixes. Décomposition d’un endomorphisme en somme de similitudes. Rotation, conjugaison. Somme directe. Réflexions, polynôme caractéristique. Endomorphisme symétrique. Homothétie. Décomposition d’une transformation en produit d’affinités orthogonales.

 

 

1984

Etudes complètes de fonctions. Equation différentielle linéaire. S.e.v. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Convergence absolue d’une intégrale. Majorations, borne d’une fonction continue. Formule de Leibniz. Dérivabilité, prolongement. Solutions d’une équation différentielle développable en série entière.

 

Quaternions. Espace vectoriel euclidien orienté, produits scalaire et vectoriel. Bond. Structures de groupe et de corps. Sous-groupes distingués, groupe simple. Norme euclidienne. Rotations. Morphisme de groupe, noyau, morphisme de corps. Transformations et matrices orthogonales directes. Groupes produits, liste des sous-groupes distingués.

 

 

1983

Convergence et calcul d’une intégrale généralisée. Noyau de Dirichlet. Développement en série entière. Intégration par parties, majorations. Intégrabilité au sens de Riemann, sommes de Riemann. Comparaison série-intégrale. Etude et intégration d’une  série de fonctions, convergences. Majoration du reste. Bornes inférieures et supérieures. Intégrale fonction de sa borne supérieure.

 

Géométrie plane euclidienne, roues de diamètre 1. Etudes de fonctions, prolongements. Intérieur, frontière, fermé, convexité. Distance entre deux droites parallèles. Tangente à une demi-ellipse, représentation paramétrique. Centre de courbure.